* Avec une accélération constante

On suppose qu'un véhicule est à l'arrêt à un carrefour. Le conducteur démarre et accélère, à accélération constante, à raison de \(3\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Son accélération étant constante, l'équation différentielle qui modélise cette situation est 
\(\dfrac{\text{d}v(t)}{{\text{d}t}}=a\) où \(v(t)\) représente l'expression de la vitesse du véhicule en fonction du temps `t` et le réel \(a\) est l'accélération constante du véhicule.

1. Déterminer la solution générale de l'équation différentielle ci-dessus. On notera \(v_0\) la vitesse initiale du véhicule.
2. Pour trouver la position \(x(t)\) du véhicule, on utilise l'équation différentielle \(\dfrac{\text{d}x(t)}{{\text{d}t}}=v(t)\).
Vérifier que la fonction \(x(t)=\dfrac{1}{2}at^2+v_0t+x_0\) est solution de cette équation où \(v_0\) est la vitesse initiale du véhicule et \(x_0\) la position initiale du véhicule.
3. Sachant que le véhicule est à l'arrêt à la position que l'on notera \(x_0=0\) à l'instant \(t=0\).
    a. Déterminer la vitesse du véhicule au bout de \(5\), puis de \(10\) secondes.
    b. Déterminer la position du véhicule, c'est-à-dire la distance entre le feu et le véhicule, au bout de \(5\), puis de \(10\) secondes.